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Statische Absicherung von Barrierewertenhandel Binäre Option Roboter Crack Coach Flip Durch die accordian Tabs unten, um Highlights für bestimmte Themen zu sehen Sie können auf ein Problem klicken, um die vollständige Tabelle der Inhalte für dieses Problem zu erhalten oder klicken Sie auf ein Nutzen Sie die Informationen auf 7 erhalten, um ein besseres Verständnis von binären Optionen und Forex Trading zu bekommen Geld verdienen online Wenn Sie Ihre eigenen Erklärungen haben, die Sie hier hinzufügen möchten, kommen Sie einfach in Kontakt Binärer Handel bietet Optionen für den Markt zur Selbstregulierung und bietet die Möglichkeit, in überbewerteten Beständen zu reinigen, indem Sie spekulieren, dass ein Unternehmen einen Rückgang in sehen wird Sein Wert. Seit 2008, investieren und Geld verdienen online mit binären Optionen hat sich zunehmend attraktiv für Investoren und Einzelpersonen, die in Aktien investieren, equitie S, Währungen und Rohstoffe Es gibt nur zwei Optionen im Binärhandel daher die Verwendung des Begriffs binäre statische Absicherung von Barrier-Optionen Handel Gbpusd Trading-Ideen Forex und Binäre Optionen Trades Diese Strategie besteht aus Standard-Währungsoptionen, wo die zugrunde liegenden Vermögenswert ist ausländischen cur - Währung, für Fälle von Währungsrisiken Absicherung folgt aufgrund einer möglichen FAS 133 und IAS 39 Glossar und Transkriptionen von Experten Buchhaltung für Derivative Instrumente und Hedging-Aktivitäten Bob Jensen an der Trinity University Sie können entweder wählen, um auf die langfristige Optionen oder kurz zu handeln - term Optionen Sie wissen, was die Rückkehr ist, bevor Sie die Investition Flip durch die accordian Tabs unten, um Highlights für bestimmte Themen zu sehen Sie können auf ein Problem klicken, um die vollständige Tabelle der Inhalte für dieses Problem zu erhalten oder klicken Sie auf eine Sie haben den Luxus Zu wissen, Ihr Risiko und Rückkehr vor, bevor der Handel jemals stattfindet. Registrieren Sie ein Broker-Konto Ich persönlich verwenden sechs verschiedene Broker für den Handel und Würde alle ernsthaften Händler empfehlen, ein paar Konten mit verschiedenen Brokern zu eröffnen, um eine gute Auswahl an Vermögenswerten aufzubauen Statische Absicherung von Barrier-Optionen Handel Sie können Renditen für Ihre Investition so hoch wie 91 oder höher erhalten, mit dem niedrigsten Trading-Kalender Dies Strategie besteht aus Standardwährungsoptionen, bei denen der zugrunde liegende Vermögenswert ausländische Währung ist, für den Fall der Währungsrisikosicherung aufgrund eines möglichen Sobald Sie einen Makler ausgewählt haben, können Sie sofort mit dem Börsengang beginnen, Geld abgeben und machen Ihre Vorhersage Kochen Geschäft von zu Hause Australien Flip durch die accordian Tabs unten, um Highlights für bestimmte Themen zu sehen Sie können auf ein Problem klicken, um die vollständige Tabelle der Inhalte für dieses Problem zu erhalten oder klicken Sie auf einen Handel kann jeden Tag und zu jeder Zeit von getan werden Der Tag, auf Aktien, Indizes, Währungen und Rohstoffe. Die meisten davon sind kurze Erklärungen, aber einige haben längere Artikel hinter ihnen Es gibt nur zwei Optionen in binärem Tradin G daher die Verwendung des Begriffs binäre statische Absicherung von Barrier-Optionen Trading Deutsche Börse Berichtsanforderungen Es ist fast wie eine Wette, in dem Sie wetten, dass ein Vermögenswert wird erhöhen oder verringern Wert über einen festgelegten Zeitraum Statische Absicherung von Barrier-Optionen Trading Start Trading mit vier einfachen Schritten Binary Trading ist einfach Ronnie Sircar Kontakt Informationen ORFE Abteilung, Princeton University, Sherrerd Hall Room 208, Princeton, NJ 08544 Tel 609 258 2841 Fax 609 258 4363 Sobald Sie einen Makler ausgewählt haben, Kann sofort handeln, indem sie sich registrieren, Geld hinterlegen und Ihre Vorhersage machen. Wir hoffen, dass dieser Abschnitt einen grundlegenden Einblick in die Terminologie rund um die OTC - und Kapitalmärkte gibt. Statische Absicherung von Barrier-Optionen Handel Dies bietet eine gute Gelegenheit, hohe Renditen in so kurz zu bekommen Ein Raum der Zeit als 60 Sekunden Stattdessen prognostizieren Sie einfach die Richtung, in der der Vermögenswert auf dem Markt für eine bestimmte Dauer von Binary bewegen wird Optionen Site White Label Du kannst es von überall her machen, auch zu Hause brauchst du keine vorherige Erfahrung Wie man Forex Trading in China anfängt Der Wert des Vermögenswertes kann steigen oder fallen und Ihre Renditen hängen von der Vorhersage ab, die Sie gemacht haben. PETER CARR , KATRINA ELLIS und VISHAL GUPTA. Dieses Papier entwickelt statische Hecken für mehrere exotische Optionen mit Standardoptionen. Die Methode beruht auf einer Beziehung zwischen europäischen Putten und Anrufen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen. Die Analyse erlaubt konstante, volatile oder flüchtige Räume oder Stirnrunzeln. DISPAPER GENERALISIERT EINE BEZIEHUNG ZU Bates 1988 zwischen europäischen Punkten und Anrufen mit verschiedenen Streiks Wir bezeichnen das verallgemeinerte Ergebnis Put-Call-Symmetrie-PCS und nutzen es, um eine Methode zur Bewertung und statischen Absicherung bestimmter exotischer Optionen zu entwickeln. Wir konzentrieren uns auf wegabhängige Optionen Die sich zu einem oder mehreren kritischen Preisniveaus ändern, z. B. Barriere - und Rückblickoptionen und deren Erweiterungen Wir untersuchen die amerikanische Orthese nicht N Optionen. Während diese Optionen in einem lognormalen Modell geschätzt und dynamisch abgesichert werden können, bieten wir eine Bewertung und statische Absicherung in einer etwas allgemeineren Diffusionseinstellung Wie in Bowie und Carr 1994 und Derman, Ergener und Kani 1994 schaffen wir statisch Portfolios von Standardoptionen, deren Werte mit den Auszahlungen der pfadabhängigen Option bei Verfall und entlang der Grenzen übereinstimmen Da die wegabhängigen Optionen, die wir untersuchen, oft hohe Gam - mas haben, ist die statische Absicherung mit Standardoptionen wesentlich einfacher und günstiger als Dynamische Absicherung Darüber hinaus sind im Gegensatz zur dynamischen Absicherung unsere statischen Positionen in Standardoptionen unveränderlich gegenüber Volatilität, Zinsraten und Dividenden und übertreffen die Notwendigkeit, sie zu schätzen 2 Weil. Carr ist ein VP in Equity Derivatives Research bei Morgan Stanley Ellis ist ein Diplomstudent an der Johnson Graduate School of Management, Cornell University Gupta ist bei Goldman Sachs diese Arbeit wurde abgeschlossen, während er ein MBA Student an der Johnson Graduate School of Management, Cornell war Universität Wir sind dankbar für Warren Bailey, Hal Bierman, Sergio Bien-Lager, Phelim Boyle, Linda Canina, Melanie Cao, Narat Charupat, Neil Chris, Emanuel Derman, Zhenyu Duanmu, Larry Harris, Eric Jacquier, Robert Jarrow, Iraj Kani , Antoine Kotze, James Kuczmarski, Robert Merton, Alan Shapiro und vor allem Jonathan Bowie für ihre kommentare Wir danken den Teilnehmern der Präsentationen am Fields Institute und bei Risk Konferenzen über Volatilität, Equity-Derivate und exotische Optionen. Wir danken den Teilnehmern der Finanz-Workshops an der Cornell University, Goldman Sachs, der Harvard University. JP Morgan, Morgan Stanley, NationsBank, Salomon Brothers und der University of Southern Kalifornien Wir bestätigen auch die herausragende Forschungsunterstützung von Cem Inal Sie sind nicht verantwortlich für Fehler. Zum Beispiel werden Barrier-Optionen im Black-Scholes-Modell 1973 in Merton 1 973 bewertet. Wir nehmen jedoch eine bestimmte Struktur auf dem Preisprozess an Erreichung von Invarianzresultaten Insbesondere gehen wir davon aus, dass die Kosten für das Tragen des Basiswertes null sind und dass seine Volatilität eine Symmetriebeschränkung erfüllt. Die wegweisenden Optionen, die wir untersuchen, sind oft sehr empfindlich auf Volatilität, der Hedgingfehler aufgrund der Volatilitätsfehlspezifikation Kann mit einer dynamischen Absicherung erheblich sein. Unsere PCS-Beziehung kann sowohl als Erweiterung als auch als Einschränkung des weithin bekannten Put-Call-Paritäts-PCP-Ergebnisses angesehen werden. Die Verallgemeinerung erlaubt es, die Streiks des Puts und des Aufrufs in einem bestimmten Mann zu unterscheiden Die Beschränkungen, die ausreichen, um dieses Ergebnis zu erzielen, sind im Wesentlichen, dass der zugrunde liegende Preisprozess sowohl eine Nulldrift als auch eine symmetrische Volatilitätsstruktur aufweist, die i Nachstehend beschrieben ist der Rest des Papiers wie folgt Abschnitt I stellt die Annahmen und die Intuition hinter PCS vor, die die Grundlage für unsere Absicherungsstrategie ist. Abschnitt I1 prüft die statische Replikation einzelner Barrierenoptionen Abschnitt I11 konzentriert sich auf exotische Optionen Mit mehrfachen Barrieren, wie z. B. Doppel-Knockouts, Roll-down-, Ratschen - und Rückblickoptionen In Abschnitt IV entspannen wir die Annahme von Null-Drift und sorgen für enge Grenzen der statischen Hecken, die in den früheren Abschnitten entwickelt wurden. Abschnitt V schließt das Papier ab Der Anhang enthält die mathematischen Details, die unsere Ergebnisse unterstützen. I Put-Call Symmetry. Throughout dieses Papiers gehen wir davon aus, dass die Märkte reibungslos sind und es keine Arbitrage-Möglichkeiten gibt PK und CK bezeichnen die Zeit 0 Preis eines europäischen Puts und Call mit jeweils Beide Optionen, die bei K und bei der Reife fällig sind, sind für alle Instrumente gleich, die wir in einem gegebenen Beispiel betrachten, wir unterdrücken die Abhängigkeit von der Zeit bis zur Reife auf ea Se Notation Lassen Sie B die Zeit 0 Preis einer reinen Rabatt Bank zahlen einen Dollar bei Put-Call Parität ausgedrückt in Bezug auf den Terminkurs F für die Zeit T Lieferung ist. PCP impliziert, dass, wenn der gemeinsame Streik der Put und Call ist die Aktueller Forward-Preis, dann haben die Optionen den gleichen Wert Da die Werte mit steigenden Streiks steigen und die Rendewerte abnehmen, können wir Ungleichheiten für europäische Puts und Anrufe schreiben, deren Streiks auf der gleichen Seite des Vorwärtss liegen. Im Gegensatz dazu ist PCS Ist eine Gleichheit zwischen skalierten Puts und Anrufen, deren Streiks auf entgegengesetzten Seiten des Forward sind. Um PCS zu erhalten, werden gewisse Einschränkungen auf den stochastischen Prozess vergeben, der den zugrunde liegenden Vermögenswert bewertet. Insbesondere gehen wir davon aus, dass der zugrunde liegende Preisprozess eine Diffusion ist, Mit Null-Drift unter einer risikoneutralen Maßnahme und wo der Volatilitätskoeffizient eine gewisse Symmetriebedingung erfüllt. So schließen wir Sprünge im Preisprozess aus und gehen davon aus, dass der Prozess bei jedem s beginnt Wie z. B. bei einer ersten Passagezeit zu einer Barriere. Die Annahme einer null risikoneutralen Drift ist für op1, Ionen, die auf den Forward - oder Futures-Preis eines zugrunde liegenden Vermögenswertes geschrieben sind, unschädlich. Für opt, Ionen, die auf den Spotpreis geschrieben wurden , Die Annahme impliziert null tragende Kosten 3 So bedeutet die Nicht-Drift-Beschränkung, dass die auf den Spot-Kurs geschriebenen Optionen sich verhalten, als ob sie auf den Forward-Preis geschrieben würden. Wir entspannen die Annahme von Null-Drift in Abschnitt IV und erhalten enge Grenzen des Wertes Von Optionen, deren Auszahlungen von dem Spot-Preis-Pfad abhängen. In diesem Papier gehen wir davon aus, dass die Volatilität des Terminkurses eine bekannte Funktion a Ft, t des Terminkurses Ft und Zeit ist. Wir nehmen auch die folgende Symmetriebedingung an. A Ft, ta F2 Ft, t, für alle Ft 2 0 und t EO, T, 2. wobei F der aktuelle Vorwärtspreis ist. So wird die Volatilität zu jedem zukünftigen Datum für zwei beliebige Ebenen angenommen, deren geometrisches Mittel ist Die aktuelle forward. This Symmetrie Bedingung ist in Black 19 zufrieden 76 Modell, bei dem die Volatilität deterministisch ist, dh die Fymmetrie, die Symmetrie entsteht, wenn die Volatilität als Funktion von Xt-ln Ft F fügt. V die Gleichung ist gleich Symmetriebedingung ist auch bei Modellen mit einem symmetrischen smile4 im log von KF erfüllt. Als Ergebnis wird ein Diagramm der Volatilität gegen KF asymmetrisch sein, mit höherer Put-Volatilität als Anrufvolatilität für Streiks, die von der Vorwärtsrichtung endgültig sind, die Symmetriebedingung Erlaubt auch Volatilitäts-Stirnrunzeln oder sogar für komplexere Muster. Angesichts der obigen Annahmen beweist der Append-ix5. Henne reibungslose Märkte, keine Arbitrage, Null-Drift und die Symmetrie Bedingung, die folgende Beziehung hält, wo das geometrische Mittel des Call-Streiks K und der Put-Streik H ist der Forward-Preis F. Thus, für Optionen auf einem einzigen Stock oder geschrieben Bei einem Aktienindex bedeutet die Nicht-Drift-Annahme, dass die Dividendenrendite immer dem risikofreien Zinssatz entspricht. Für Optionen auf Spot-FX bedeutet die Nicht-Drift-Annahme, dass der Fremdzinssatz immer dem Inlandspreis entspricht. Für Optionen auf den Spot-Preis Von einer Ware, die Annahme impliziert, dass die Bequemlichkeit Ertrag ist die risikolose Rate. Hinweis, dass das angenommene Lächeln ist in der lokalen Volatilität im Gegensatz zu den Black 1976 Modell impliziert Volatilität. Bates 1988 erstmals beweist dieses Ergebnis für konstante Volatilität Siehe Bates 1991 für eine Ausgezeichnete Darstellung der Implikationen der Asymmetrie für das Ausdrücken von Crash-Prämien. Figur 1 Illustration der Put-Gallen-Symmetrie PCS Ein Anruf mit Streik 16 ist gleich 4 Puts mit Streik 9, wenn der Forward-Preis 12.C ist Onsider eine numerische Darstellung des PCS-Ergebnisses Wenn der aktuelle Vorwärts 12 ist, hat ein Aufruf bei 16 den gleichen Wert wie der Putze auf 9 geschlagen. Dieses Beispiel ist in Abbildung 1 dargestellt. Der Grund, warum der Anruf viel mehr Wert hat, obwohl er weiter ist Out-of-the-money arithmetisch ist, dass unsere Diffusion Prozess hat mehr absolute Volatilität-hen Preise sind hoch als wenn die Preise sind niedrig Da Call-und Put-Auszahlungen sind durch die arithmetische Distanz zwischen Terminal Preis und Streik, die höhere absolute Volatilität bei bestimmt Höhere Preise führen zu höheren Rufwerten. Eine Intuition für PCS ergibt sich aus der Verallgemeinerung der folgenden Intuition für Put-Call-Parität Stellen Sie sich einen Graphen der risikoneutralen Dichte der Endpreise vor und nehmen Sie an, dass die horizontale Achse auf einen Keil mit dem Ziel gesetzt wird Den Drehpunkt zu finden Der Drehpunkt wird durch das Ausgleich des Produktes der Dichte und der Distanz von dem Keil, der über die endgültigen Preise integriert ist, gefunden. Mit anderen Worten, der Drehpunkt tritt bei dem erwarteten Wert auf Ue unter der risikoneutralen Verteilung, die der aktuelle Terminkurs ist. Summiert das Produkt der Dichte und Distanz von dem Keil auf der rechten Seite des Drehpunkts gibt den Vorwärtspreis eines europäischen Aufrufs an der Vorwärtsrichtung Produkt der Dichte und absolute Distanz vom Keil auf der linken Seite des Drehpunktes gibt den Terminkurs eines on-the-money-Forward-European-Put Weil die Optionen9 Forward-Preise zusammenfallen, stoßen ihre Spot-Preise auch durch eine einfache Kosten des Tragens. Die PCS-Ergebnisgleichung 4 impliziert, dass ein Anruf, der mit dem Doppelten des aktuellen Vorlaufs geschlagen wurde, den doppelten Wert eines Puts hat, der auf die Hälfte der aktuellen Vorwärtsbewegung geschlagen wird. Die Volatilität ist als Standardabweichung der Preisänderungen definiert, dh Std dF Im Gegensatz dazu, Die übliche Volatilität ist definiert als die Standardabweichung der relativen Preisänderungen, dh Std dF1F. Um die oben erwähnte Ausgleichs-Intuition auf diese Flügelspieleroptionen zu erweitern, stellen wir uns nun vor, dass die horizontale Achse auf zwei Keile, eine Stelle, gelegt wird Um die Hälfte des aktuellen Forward-Preises und der andere bei zweimal dem aktuellen Forward-Preis Dann das summierte Produkt von Dichte und Distanz über zweimal nach vorne gibt der Flügelspieler-Vorsprung Wert Ähnlich wie das summierte Produkt der Dichte und absolute Distanz unterhalb der Hälfte nach vorn gibt der Flügelspieler Setzen Sie den Vorwärtswert Wenn die Dichte zwischen den Keilen entfernt wird, dann wird die Achse nach rechts gerichtet, weil der Ruf wertvoller ist als der Satz. Jedoch wird die Verdoppelung der Dichte links von der Hälfte nach vorne die Balance wiederherstellen. Mit anderen Worten, zwei solcher Puts haben den gleichen Wert wie ein call.11 Single Barrier Options. In diesem Abschnitt stellen wir pfadabhängige Optionen mit einer einzigen Barriere7 in pfadunabhängigen Standardoptionen dar. Der Schlüssel zur Bereitstellung dieses Ergebnisses ist die Sake-Call-Symmetrie, die angenommen wird Zu halten, wenn der Basiswert zuerst den Barrier-Preis erreicht. So ist die Symmetrieachse für die Volatilität der Barrier-Preis. Ohne Verlust der Allgemeinheit konzentrieren wir uns auf die Wertschätzung und Absicherung von Knock-out Anrufe Solche Anrufe verhalten sich wie regelmäßige Anrufe, außer dass sie knoc ked out das erste Mal die zugrunde liegenden Treffer eine vorgegebene Barriere Im Gegensatz dazu klopfen in Anrufe werden Standard-Anrufe, wenn die Barriere getroffen wird und sonst abläuft wertlos Angesichts eines Bewertungsergebnisses und Hedging-Strategie für klopfen - Anrufe können die entsprechenden Ergebnisse für Klopfen von Anrufen mit der folgenden Paritätsrelation wiederhergestellt werden. Da IC K, H OC K, H ist ein In-Call-Out-Call mit Streik K und Barriere HA Down-and-Out-Anrufe. Definitionsgemäß wird ein Down-and-Out-Aufruf DOC mit Streik K und Barriere HK wertlos, wenn H zu irgendeinem Zeitpunkt während seines Lebens getroffen wird Wenn die Barriere nicht vom Verfallsdatum getroffen wurde, ist die Terminalauszahlung die eines Standardrufs Schlug bei k. To, um einen Down-and-Out-Aufruf zu hecken, müssen wir die Terminal-Auszahlung und die Auszahlung entlang der Barriere abgleichen. Ein erster Schritt beim Aufbau einer Hecke ist, die Terminal-Auszahlung zu erfüllen, was durch den Kauf eines Standardrufs erfolgt, CK Betrachten wir nun Optionswerte Entlang der Barriere Wenn FH, die DOC ist wertlos, während unsere aktuelle Hedge CK hat positiven Wert So we. We konzentrieren sich auf Call-Optionen, so dass analoge Ergebnisse für puts als eine Übung an den Leser Dieses Ergebnis gilt nicht für amerikanische Optionen Siehe Chriss 1996 Für eine klare Diskussion. Zeit Jahre 95 Preis Zeit yrs 95 Preis. Zeit Jahre 95 Preis. Figure 2 Statische Hecke für einen Down-and-Out-Aufruf K 400, N 95 Panel A zeigt den Wert eines europäischen Anrufs bei 100 auf Lager Preise von 95 bis 105 und bis zur Reife bis zu einem Jahr Die angezeigte Achse zeigt die Zeit bis zur Reife an. Panel B zeigt den Wert von 1 0526 Putten bei 90 25 an. Beachten Sie, dass die Graphen entlang der Barriere von 95 Panel C identisch sind Unterschied zwischen den ersten beiden Graphen, was darauf hinweist, dass der replizierende Portfolio-Wert entlang der Barriere verschwindet. need, um ein Instrument zu verkaufen, das den gleichen Wert hat wie der europäische Anruf, wenn der Forward-Preis an der Barriere ist. Mit PCS, wenn 4 H, erhalten wir. Also müssen wir KHpl Eu schreiben Ropean setzt auf H2Kp1, um die hedge zu vervollständigen So ist das komplette replizierende Portfolio für ein DOC eine Buy-and-Hold-Strategie in Standardoptionen, die bei der Einleitung der Option erworben wird. Wenn die Barriere vor dem Auslaufen getroffen wird, ist das replizierende Portfolio Sollte mit PCS liquidiert werden, um sicherzustellen, dass die Erlöse aus dem Verkauf des Anrufs exakt durch die Kosten für den Rückkauf der Puts ausgeglichen werden. Wenn die Barriere nicht vor Ablauf abgelegt wird, dann gibt der lange Anruf die gewünschte Terminalauszahlung und die schriftlichen Pakete verlaufen wertlos H2K-IH, wenn H K. Figure 2 die Replikation eines Down-and-Out-Aufrufs mit dem Streik K 100, der Barriere H 95 und einer anfänglichen Reife von einem Jahr darstellt. Das Panel A ist von a. Der erforderliche Streik ist K, H2K - I, aus Gleichung 5, und ersetzen diese in Gleichung 4 gibt das Ergebnis. Standard-Aufruf mit dem gleichen Streik und Reife wie die Down-and-out Entlang der Barriere F 95 hat der Aufruf positiven Wert Panel B ist von Kf4 - I 1 0526 schlägt auf H2K-I 90 25 Hinweis t Hut der Wert dieser Sätze entlang der Barriere F 95 entspricht der des Standardrufs Wenn Panel B von Panel A subtrahiert wird, ergibt sich aus Panel C Panel C, dass das Replikationsportfolio einen Nullwert entlang der Barriere F 95 hat Und die Auszahlung eines Standard-Aufrufs geschlagen um 100 am Verfall. B Up-and-Out-Anrufe. An up-and-out-Anruf UOC hat eine Knockout Barriere über dem aktuellen Vorwärtspreis gesetzt Wenn die Barriere ist bei oder unter dem Streik HI, Das UOC ist wertlos, da es immer ausgeklopft ist, bevor es eine positive Auszahlung haben kann. So müssen wir nur Barrieren betrachten, die über dem Streik HK liegen, was bedeutet, dass das UOC intrinsischen Wert hat, bevor es ausschaltet. Wir beginnen unser Replikationsportfolio mit einem Europäischer Aufruf bei K geschlagen, da dies mit unserer Auszahlung bei Verfall übereinstimmt Um an der Barriere H null zu kommen, könnten wir KHpl-Sätze an H2Kp1 verkaufen, aber das würde uns Probleme geben, wenn die Barriere nicht getroffen wurde Replikation Portfolio für ein UOC verwendet Gleichungen 6 und 1 mit up-and-in-Wertpapieren. UOC K, HCK - UIP K, H - H - K UIB H, E-6 K, F, 8. wo definitionsgemäß die up-and-in-Bindung UIB H Bezahlt 1 bei Verfall, wenn die Barriere H zuvor getroffen wurde. Um zu sehen, dass das Portfolio mit den Auszahlungen des UOC übereinstimmt, betrachten Sie die Auszahlung des UOC, wenn die Barriere niemals berührt wird - die erforderliche Auszahlung ist die eines normalen Anrufs Schlug bei K Im replizierenden Portfolio sind die up-and-in-Put-and-Bonds wertlos, während der Standard-Call die gewünschte Auszahlung bietet. Umgekehrt, bei der ersten Passage zur Barriere, schlägt der Up-and-Out-Call aus So wie die up-and-in-Put und Anleihen klopfen Da der Forward-Preis bei H liegt, bedeutet Put-Call-Parität, dass das replizierende Portfolio auf null Kosten liquidiert werden kann. Der Up-and-In-Posten schlug bei K mit Barriere H-Spielen Der Zeitwert des Standardrufs CK an der Barriere und die H-K-Up-and-In-Anleihen entsprechen ihrem intrinsischen Wert. Der Vorteil, einen up-and-out-Aufruf in Bezug auf up-and-in puts und bon darzustellen Ds ist, dass Gleichung 8 für jeden fortlaufenden Prozess für den zugrunde liegenden Preis gilt. Der Nachteil ist, dass die up-and-in-Wertpapiere nicht handeln können oder nur mit schweren Reibungen handeln können. Wir können PCS anwenden, um zu zeigen, dass die UIP K, H sein kann Repliziert mit KH-I Anrufe auf H2K-l Der Anhang zeigt, dass ein UIB 61 kann durch den Kauf von zwei Binär-Anrufe BC geschlagen bei H und Hpl europäischen Anrufe bei H. By Definition getroffen werden, die binären Anrufe zahlen 1 bei Verfall, wenn die Underlying beendet über H dann Die Intuition für die Replikation des UIB ist das, wenn die. Table Z Konvergenz von Vertical Spreads auf Binary Call. This Tabelle berechnet den Wert einer vertikalen Spread VS mit Parameter n, wobei n die Anzahl der Call Spreads ist Und seine Gegenseitigkeit ist die Ausbreitung zwischen Streiks C ist ein europäischer Ruf Als n erhöht sich die vertikale Spread konvergiert zu einem binären Ruf BC mit Streik 105, mit dem analogen Wert 0 292384.forward ist an der Barriere, jeder Binärruf wird in etwa geschätzt Die Wahrscheinlichkeit von f In-the-money einzugeben Wenn diese Wahrscheinlichkeit genau 0 5 wäre, dann reichen die beiden Binärrufe allein aus. Die positive Verschiebung der endgültigen Preisverteilung impliziert, dass die Wahrscheinlichkeiten etwas weniger als 0 5 betragen, was eine kleine Korrektur mit Anrufen mit sich bringt In Gleichung 9.Rewriting Gleichung 8 in Bezug auf Standard - und Binärgespräche gibt es. Es ist bekannt, dass binäre Anrufe mit einer unendlichen Anzahl von vertikalen Spreads von Standardanrufen synthetisiert werden können. BC H lim n CH-CH npl 11.As Ein Ergebnis, kann der up-and-out-Aufruf mit Standard-Anrufe allein repliziert werden. Klare, die binäre Aufruf Replikation Strategie in Gleichung 11 ist unpraktisch Um dies zu beheben, verwenden wir eine Technik namens Richardson Extrapolation, die zuvor für Option Preisgestaltung verwendet wurde , ZB Geske und Johnson 1984 Angesichts einer Reihe von Näherungen, die durch einen Parameter zB Schrittgröße indiziert sind, ist Richardson Extrapolation eine Technik, um den Wert zu erraten, wenn der Parameter infinitesimal ist. Wir veranschaulichen den Ansatz für b Inary-Anrufe mit folgendem Beispiel für FX-Optionen mit konstanten Zinssätzen und Volatilität Angenommen FS 100, K 105, rr, 4, o - 20 und T 0 25 Jahre Dann ist der genaue Black 1976 Modellwert des Binärrufs 0 292384 Definieren VS n als Wert von n vertikalen Aufrufspreads mit Streiks 105 und 105 nl, n 1,2,3 Wieder mit Black s Modell, Tabelle I zeigt die Geschwindigkeit der Konvergenz von VS n auf den richtigen Wert. Sie Chriss und Ong 1995 für Eine Diskussion über dieses Ergebnis.105 105 Zeitjahre 95 Preis Zeit y rs 95 Preis. Zeit Jahre 95 Preis Zeit yrs 95 Preis. Figure 3 Statische Hecke für einen up-and-out Anruf K 100, HA zeigt einen europäischen Anruf bei 100 geschlagen Das Panel B zeigt fünf Auf - und Ab-Bindungen mit dem Streik 105, die jeweils 1 bei Verfall bezahlen, wenn die Barriere 105 von diesem getroffen wurde. Panel C zeigt 0 9524 Aufruf bei 110 25 Die Gesamthecke wird in Panel D gezeigt, Wurden skaliert. Während die vertikalen Spread-Werte sind langsam konvergent, Fünf-Dezimal-Ort-Genauigkeit kann mit dem followin erhalten werden G-Drei-Punkt-Richardson-Extrapolationll. Der Wert eines Binär-Aufrufs ist durch das folgende Beispiel von Standard-Anrufen gut angenähert12.Bild 3 zeigt den Wert der Komponenten des statischen Hecks für einen Auf - und Abruf mit Streik K 100, Barriere H 105 und Anfangslaufzeit von einem Jahr Der in Panel A gezeigte Standardaufruf bei 100 hat sowohl einen intrinsischen als auch einen zeitlichen Wert entlang der Barriere 1105 Panel B ist die H-K 5 Up-and-In-Bindungen, die übereinstimmen the intrinsic value of the call along the bar - rier Panel C is of KH - 0 9524 calls struck at H2K - 110 25 which match the time value of the call along the barrier When Panels B and C are subtracted from Panel A, the result is shown in Panel D, indicating zero value along the barrier and the call payoff at maturity. l1 See Marchuk and Shaidurov 1983 , p 24, for a derivation of Richardson weights l2The approximation deteriorates near expiration when prices are near the strike. III Multiple Barrier Options. In this section, we discuss comple x barrier options involving multiple bar - more complex specifications are possible, we simply as - sume that the volatility of the underlying is henceforth a deterministic function of time, as in Black s 1976 model i e a F, t a t for all F Q and t E. A Double Knockout Calls. Consider a call option that has two barriers,14 so that the call knocks out if either barrier is hit We assume that the initial forward price and strike are both between the two barriers There is a parity relation between this double knock-out call 02C and a double knock in call 12C , which knocks in if either barrier is hit. where K is the strike, L is the lower barrier, and H is the higher barrier We will again focus on replicating the payoffs of a double knock out call using static portfolios of standard options. On its surface, a double knock out call 02C K, L,H appears to be a com - bination of a DOC K, L and an UOC K, H The payoff of the 02C K, L, H is zero if either barrier is hit and the standard call payoff at exp iry if neither barrier is hit A portfolio of a call knocking out at the lower barrier and a call knocking out at the higher barrier would give these payoffs, so long as the knock out of one option also knocked out the other This additional specifi - cation is necessary as otherwise the surviving option contributes value at the other s barrier. To construct the replicating portfolio for the 02C K, L,H , we begin as before by purchasing a standard call C M to provide the desired payoff at expiry We will then attempt to zero out the value at each barrier separately If we knew in advance that the forward price reaches the lower barrier L before it reaches the higher barrier H, then our previous analysis of a down - and-out call implies that the value of the call C K can be nullified along the barrier L by initially selling KL1 puts struck at L2K-I Thus, the replicat - ing portfolio under this assumption would be. Alternatively, if we knew in advance that the forward price reaches the higher barr ier H first, then from equation 10 the replicating portfolio would in - stead be. artial barrier options may be statically hedged using a portfolio of standard and com - pound options A discussion of this can be obtained from the authors. Double barrier calls and puts have been priced analytically in Kunitomo and Ikeda 1992.Because we don t know in advance which barrier will be hit first, we try combining the two portfolios. The problem with this portfolio is that each written-in call contributes neg - ative value at the other s barrier For example, if the forward price reaches H first, then the DIC K, L KLp1P L2Kp1 contributes negative value along H Thus, we need to add securities to the portfolio in an effort to zero out value along each barrier Along the barrier H, the negative influence of the KLpl puts struck at L2Kp1 can be offset by buying LHpl calls struck at H2KLp2 TO cancel the negative influence of the UIC K, H along the barrier L, we will need to extend PCS to binary calls. Recall that a binary call put is a cash-or-nothing option that pays 1 if the stock price is above below a strike price K, and zero otherwise Simi - larly, a gap call put is an asset-or-nothing option that pays the stock price S if it is above b elow a strike price K, and zero otherwise The following parity relations are easily shown. Since binary options may be synthesized out of standard options, these par - ity relations imply that the same is true for gap options The Appendix proves the following symmetry result, relating values of binary options to gap options. Given frictionless markets, no arbitrage, zero drift, and deterministic volatility, the following relationships hold. where the geometric mean of the binary call strike K and the binary put strike H is the forward price F. Armed with this result, we can cancel the negative influence of the UIC K, H in equation 15 along the barrier L Thus, our first layer approx - imation for the double knock out call value is. Although equation 17 is a better approximation than equation 15 , the added options still contribute value at the other s barrier Thus, we need to continue to subtract or add options, noting that each additional layer of hedge at one barrier creates an error at the other barrier As a result, the replicating portfolio for a double knock-out call can be written as an infinite sum. Note that the options in the infinite sum are all initially out-of-the-money Furthermore, as n increases, the number of options held and the options moneyness both decrease exponentially As a result, for large n, the options contribution to the infinite sum becomes minimal Thus we can get a good approximation to the option value with a small value of n Table I1 shows a typical example With F K 100, barriers at L 95 and H 105, r rf 4 percent, v 20 percent, and T 0 25, five-decimal-place accuracy has occurred by summing the values for n -0, 1, 2 The value for n oo is obtained from the analytic solution by Kunitomo and Ikeda 1992.Figure 4 graphs the value of the second-layer hedge, i e n 1in equation 18 , for a double knock out call option Notice that the value along both barriers is very close to zero. In general, bringing in the barriers of a double knock out call reduces bo th its value and the number of options needed to achieve a given accuracy. B Roll-Down Calls. A double knock out call involves two barriers that straddle the initial spot In contrast, a roll-down call RDC l. nvolves two barriers, both below the initial spot and strike If the nearer barrier is not hit prior to maturity, then a roll-down call has the same terminal payoff as a standard call struck at KO However, if the nearer barrier H1 is hit prior to maturity, then the strike is rolled down to it, and a new out-barrier becomes active at M2 N1 For later use, we extend the definition of a RDC as follows We assume that if the nearer barrier H1is hit, then the strike rolls down to some level Kl E HI, KO. l-or a discussion of roll-down calls and roll-up puts, see Gastineau 1994.Table I1 Convergence of Replicating Portfolio to Double Knock out Call 02C Value. The values are generated by using the static hedging portfolio for 02C K, L,H for increasing values of N. C and P are European calls and puts, respectively K is the strike price L and H are lower and upper barriers, respectively BC is a binary call GP is a gap put is the foreign interest, rate and r is the domestic interest rate r is the volatility of the underlying asset and T is the time to maturity of the option The parameters for the option are initial forward price F 100, K 100, barriers at L 95 and H 105, r rf 456, a 0,and T 0 25 The value for N x is given by the analytic solution of Kunitomo and Ikeda 1992.N Value of Replicating Portfolio. which need not equal HI We also assume that if the farther barrier 1 is hit, then the strike rolls down to some level Kz E Hz, K1 artd a new out - barrier becomes active further down at H3 Hz This process repeats an arbitrary number of times. Let HI Hn be a decreasing sequence of positive barrier levels set below the initial forward price, F HI Similarly, let KO Kn be a decreasing sequence of strikes, with Kt 2 Hi, i 1 n Then at initiation, the ex - tended roll-down call can be decompos ed into down-and-out calls as. This representation is model-independent To obtain a standard roll-down call, we set n 1and K1 HI For any n, the hedge works as follows if the underlying never hits the barrier HI, then the DOC Ko, H1 provides the desired payoff FT - KO , and the knock out calls in the sum cancel each. Time yrs 95 Forward Price. Figure 4 Second layer static hedge for a double knockout call option with barriers at 95 and 105 and strike at 100.other If the barrier H1 is hit, then the DOC Ko, HI vanishes, as does the written DOC Kl, H1 Thus the position when F HI may be rewritten as. This is analogous to our initial position In between any two barriers Hi and Hitl, the DOC Ki, Hi l provides the desired payoff if the next barrier is never hit, but the DOCS in the sum roll down the strike to Ki l if this bar - rier is hit. When PCS holds at each barrier, the extended roll-down call value at ini - tiation, for F HI, is given by. The replicating strategy is as follows At any time, we are al ways holding a call struck at or above the highest untouched barrier and puts struck at or below this barrier Thus, if the forward price never reaches this barrier, the call pro - vides the desired payoff at expiry, and the puts expire worthless Each time the forward price touches a barrier Hi for the first time, we sell the call struck at Kil and buy back Ki l. l puts struck at H. sell Kidilcl puts struck at H Krl and buy the call struck at Ki PCS guarantees that both transitions are self-financing. As previously mentioned, the standard roll-down call is the special case of equation 21 with n 1and K1 HI Figure 5 illustrates the replication. Time yrs 95 Price. Time yrs 95 Price. Figure 5 The two part static hedge for a roll-down call KO 100,Kl HI 95, Hz -90 Panel A shows the replicating portfolio when the price is above the first barrier, 95 Panel B shows the replicating portfolio after the barrier 95 has been hit The two portfolios are identical along the barrier of 95, and the second is wo rth zero along the lower barrier 90 Panel 2 is a different perspective of Panel B, showing more clearly value of the portfolio at 95.procedure for a standard roll-down call with initial strike KO 100, rolled - down strike K1 H1 95, and final out-barrier H2 90 Panel A shows the value of the replicating portfolio before the first barrier is hit IS the forward hits the first barrier HI, then the portfolio is costlessly revised to C H1 - H1 H. HC Panel B shows the value of this new portfolio for prices below 95 The revised portfolio has zero value along the knock out barrier Hz 90 as required Panel C is just Panel B with a different orien - tation, showing that the value of the two portfolios match along the first barrier H1 95.C Ratchet Calls. A ratchet call is an extended roll-down call, with strikes set at the barri - ers, which never knocks out completely This is accomplished k y having the only purpose of the lowest barrier be to ratchet down the strike This sug - gests that we can create a static hedge for a ratchet call once we account for this difference. To synthesize a ratchet call with initial strike KO, we set the strikes P , in the ERDC Ki, Hi equal to the barriers Hi, i 1 n deal with the fact that an extended roll-down call knocks out completely if the forward reaches H while the ratchet call rolls down the strike to H we replace the last spread of down-and-out calls DOC H H,, - DOC H H, in equa - tion 19 with a down-and-in call DIC H,,H, Thus, a model-independent valuation of a ratchet call, using barrier calls, is. Substituting in the model-free results, DOC K, H C K - DIC K, H and DIC H, H P H simplifies the result to. When PCS holds at each barrier, a ratchet call can be represented in terms of standard options as. Hedging with this replicating portfolio is analogous to the extended roll-down call hedge the position held is changed at every barrier, and the transitions are self-financing Comparing equation 24 with its counterpart for an ex - tended roll-down call allows us to capture the value of removing an out-barrier at H, l Setting Ki Hi in equation 21 and comparing with equation 24 im - plies that the value of removing this barrier is given by H H, zl puts struck at H. D Lookback Calls. A floating strike lookback call LC is similar to a ratchet call, except that there is a continuum of rolldown barriers extending from the initial forward price to the origin, so that the strike price is the minimum price over the option s life A ratchet call with KO F, H, 0, undervalues a lookback because the active strike is always at or above that of a lookback Thus, a model-free lower bound for a lookback call is. When PCS holds at each barrier, this lower bound can be expressed in terms of standard options. The portfolio of standard options undervalues the lookback because the call held is always struck at or above the lookback By adding more strikes, we obtain a tighter bound Since the underlying s prices are actually discrete, one possibility is to set the barrier s at each possible level. To obtain an upper bound on the value of a lookback call, we may use an extended ratchet call, which ratchets the strike down to the next barrier each time a new barrier is crossed When the last positive barrier is touched, the strike is ratcheted down to zero Thus, a model-free upper bound in terms of down-and-in bonds is. LC 5 C Hl - P H, C H, - Hi l DIB Hi H, DIB H, 27.Intuitively, when each barrier M, is reached for the first time, the down - and-in bonds ratchet down the delivery price of the synthetic forward C H1 - P H1 by Hi - Hi l dollars. When PCS holds at each barrier, it can be used to represent the down - and-in bonds in terms of standard options 1 n particular, using an argument analogous to that in the Appendix for an up-and-in bond, a down-and-in bond can be replicated using the following static portfolio of binary and stan - dard puts DIB H 2BP H - H - P H Richardson extrapolation may again be used to efficiently represent the binary puts in terms of standa rd puts 16.We can modify the above bounds for both a forward-start and a backward - start lookback call Let 0 be the valuation date and let TI be the start date of the lookback period In the backward-start case TI O , the underlying has some minimum-to-date, m, which is in between two barriers Hi and for some i The lower bound is thus a ratchet call with initial strike Hi and barriers Hi where i i 1 n -1 Similarly, the upper bound is an ex - tended ratchet call with initial strike Hi l and barriers Hi, i i 1 n -1 Because ratchet calls and extended ratchet calls can be replicated with standard options, we have bounded the lookback call in terms of static portfolios of standard options. l6 Richardson extrapolation may also be used to enhance convergence of the lower and upper bounds of a lookback call by extrapolating down the distance between barriers A discussion of this can be obtained from the authors. In the forward-start case TI 0 , we use the fact that the formula for a backward-start lookback call is linearly homogeneous in the current spot forward price and the minimum to date At TI, the minimum is STlSO the lookback call value at TI may be written as c ST1, for some function c independent of for a forward-start LC, we should initially hold. units of the underlying Moving forward through time, the dividends received are reinvested back into the security, bringing the number of units held up to c by time TI At TI, the c shares can be sold for proceeds just sufficient to initiate the approximating strategy described above. TV Nonzero Carrying Costs. The previous results were derived assuming that the drift of the under - lying was zero under the martingale measure This assumption is natural for options on futures, but strained somewhat for options on the spot In this section, we relax the assumption of zero drift Although we are no longer able to obtain exact static hedges for options on the spot, we can develop tight bounds on option values using static hedges Bowie an d Carr 1994 give the bounds for single barrier options, so we concentrate on multiple barrier calls For concreteness, we deal with options on spot foreign exchange FX , assuming constant interest rates for simplicity Then, interest rate parity links forward prices F t and spot prices S t of FX by. where r is the domestic rate and rf is the foreign rate Thus, when the spot hits a flat barrier H, the forward hits a time-dependent barrier H t. A Double Knock out Calls. When the drift of the underlying is not zero, a double knock out call on the spot with flat barriers L and His equivalent to a double knock out call on the forward price with time-dependent barriers L t. with t E 0, TI We can give flat upper and lower bounds on these time-dependent barriers If r rf17.Double knock out options increase in value as the out-barriers are moved farther apart Thus for the double knock out call on the forward, ls we can write. l7 The details for hedging multiple barrier calls when r rf are left as an exe rcise for the reader l8 Since interest rates are constant, results for options on forwards also hold for options on futures. Figure 6 Synthesizing a double knockout call with cost of carry Value of the upper dashed line and lower dotted line bound static hedges for a double knock-out call K 100, lower barrier 95, and upper barrier 105 compared with the analytical value solid line The foreign interest rate rf is fixed at 4 percent and the domestic interest rate r varies from 1percent to 7 percent For r ry the lower bound is the upper bound and vice versa. Furthermore, by definition, the double knock out on the forward with time - dependent barriers is the same as the double knock out on the spot with flat barriersbining equations 29 and 30 allows us to bound the value for a double knock-out call on the spot between the values of two double knock out calls on the forward. As we know how to replicate each of the two bounds with a static portfolio, we have upper and lower bounds on the double knock out call on the spot Figure 6 indicates how the bounds vary with the interest rate differential. B Roll-Down Calls. Recall that under zero drift and with PCS holding at every barrier, an extended roll-down call ERDC was synthesized out of standard call and put options in equation 21.When the drift of the underlying is not zero, an ERDG on the spot with flat strikes Ki, i 0 n and barriers Hi, i 1 n is equivalent to an ERDC on the forward with time-dependent strikes Kit. and barriers Hit Hie - f T-t. We can give flat upper and lower bounds on these time-dependent quanti - ties If r rf. The ERDCf value is decreasing in the level of the strikes and increasing in the level of the barriers Thus, we can place bounds on ERDCf Kit, Hit. From Section 1II B we can create static hedge portfolios for the upper and lower bounds, and the tightness of these bounds for a standard roll-down call n 1, Kl HI is shown in Figure 7.C Ratchet Calls. A ratchet call on the spot is a special case of an extended rol l-down call on the spot created by setting the strikes Ki equal to the barriers Hi and re - moving the last knock-out barrier As a result, the bounds for a ratchet call on the spot are determined similarly to an extended roll-down call The lower bound is a ratchet call that ratchets every time the flat barrier Hi is hit to a strike of higher bound is an extended ratchet call on the forward that ratchets every time the barrier Hi is hit to a strike of Hi. D Loohbach Calls. Consider a ratchet call on spot with the initial strike KOset at the initial spot price and the final rung H, set at the origin As in the case of zero carrying costs, this ratchet call undervalues a lookback due to the discrete - ness of the rungs As a result, the lower bound for a ratchet call on spot is also a lower bound for a lookback call on spot Bnupper bound for a lookback call on spot can be obtained from an extended ratchet call on spot, which ratchets the strike to the next lower barrier However, an extended rat chet call on the spot with flat barriers is equivalent to an extended ratchet call on forward with time-dependent barriers A lower bound can be obtained from a generalization of equation 27 For each time-dependent barrier, Hit, each. Figure 7 Synthesizing a roll-down call with cost of carry Value of the upper dashed line and lower dotted line bound static hedges for a roll-down call KO 100,K1 H1 95, Hz 90 compared with the analytical value dotted line The foreign interest rate is fixed at 4 percent and the domestic interest rate varies between 1percent and 7 percent When the domestic rate is below the foreign rate, the lower bound becomes the upper bound and vice versa. time the forward reaches the flat upper bound Hi, we ratchet the strike to the flat lower bound Hi The resulting bounds for a lookback call on spot at issuance are. Using this approach, bounds for forward and backward start lookback calls can also be obtained. V Conclusion. The concept of hedging exotic options with a static portfolio of standard instruments simplifies the risk management of exotic options in several ways First, when compared with dynamically rebalancing with the underlying, the static portfolio is easier to construct initially and to maintain over time Instead of continuously monitoring the underlying and trading with every significant price change, the hedger can place contingent buy and sell orders with start stop prices at the barriers Second, when compared with offset - ting the risk using another path-dependent option, the investor uses instru - ments with which he is familiar, the risks are better understood, and the markets are more liquid. A static hedge can exactly replicate the payoffs of the path-dependent op - tion when carrying costs are zero and a pair of static hedges can bracket the payoffs when nonzero carrying costs are introduced These techniques apply to many path-dependent options, which are related in that their payoffs de - pend on whether one or more barriers are crosse d. The fundamental result underpinning the creation of our replicating port - folios is put-call symmetry By using this simple formula, we can engineer simple portfolios to mimic the values of standard options along barriers The result is an extension of put-call parity to different strike prices which pro - vides further insight into the relation between put and call options. The main extension to this line of research would involve relaxation of the zero drift and symmetry conditions Just as bounds are developed when drift is nonzero, perhaps tight bounds can be developed when volatility structures display asymmetry with sufficient stationarity In the interests of brevity, this extension is left for future research. Let F t be the forward price at t E O, TI of the underlying for delivery in T years Let a F t, t be the local volatility rate of the forward price as a function of the forward price F t and time t Under the martingale mea - sure, l he forward price process is. Let B 0 be the pric e at time 0 of a bond paying one dollar in T years and let C O, K,T and P O, K,T be the initial value of an European call and put struck at K and maturing in T years Let G, K, T B 0 - C O, K,T and G, K, T B 0 - P O, K,T be the respective forward values quoted at 0 of these options for delivery in T years We now show that both forward values satisfy the following forward partial differential equation pde. We use a pure discount bond maturing at T as the numeraire. In contrast to Black 1976 backward pde, this pde indicates how forward option values change with the strike and maturity, holding the initial time and underlying forward price fixed The above result and its proof below are essentially due to Dupire 1994.To prove the forward pde for a call, we begin with the standard result that the forward price of a call is given by its expected payoff under the equiva - lent martingale measure. where p F T, T F O, O is the transition density of the forward price, indi - cating the probability density o f the forward price being at F T at time T, given that it is at F 0 at time 0 The Kolmogorov forward equation govern - ing this density is. Differentiating A3 twice with respect to IS gives. Substituting into the Kolmogorov equation gives. Integrating twice with respect to K gives the desired result The same proof applies to European puts It is easily verified that Black 1976 formulas for calls and puts satisfy the above equation with u2 K, T o-2.The forward call value G, K, T is the unique solution of equation A2 subject to the following boundary conditions. a G, K, O max F O - K, O , K 0 b lim G, K, T 0,T 0.Similarly, the forward put value G, K, T is the unique solution of equation A2 subject to the following boundary conditions. a G, K, O max K - F O, O , K 0 b lim G, K, T - K, T 0.Let u, x, T G, K, T KF 0 4 2 and u, x, T G, K, T KF 0 P1 2 be normalized call and put forward values, respectively, written as functions of x ln K F O and maturity the normalized values both solve the following pde. where v x, T a F 0 ex, T is the volatility expressed as a function of x and T The normalized forward call value u, x, T is the unique solution of equa - tion A7 subject to the following boundary conditions. a u, x, O max e - I2 - ex 2,0 , x E It b limu, x, T 0, T 0. c lim u, x, T eP , T 0.Similarly, the normalized forward put value u, x, t is the unique solution of equation A7 subject to the following boundary conditions.-ePx 2,0,x E iYi b lim up x, T - ex , T 0. c lim u, x, T 0, T 0.Our symmetry condition is that v2 x, T u2 - x, T for all x E I and for all T 0 Given this condition, it is easy to see that u, x, T and up - x, T satisfy the same boundary value problems and are therefore equal. u, x, T up - x, T , forallx E MandforallT 0.Reverting to forward prices gives. where K, K, 1 2 F 0 Multiplying both sides by F O. gives the de - sired result. Binary Put-Call Symmetry. Assuming that volatility is a function of time alone, the payoff and values for binary calls and puts, and gap calls and puts with time T until maturity, and strike H can be written as. Payoff at time T Value at time 0.BC l F T H BC B 0 N d2 GC F T l F T H GC B 0 F O N dl BP l F T H BP B O N - d2 GP F T l F T H GP B O F O N - dl , where. is the standard normal distribution function. It may be verified by direct substitution that. where the geometric mean of the bianry gap call strike K and the gap binary put strike H is the forward price E KH l12 F. We can rewrite an up-and-in bond as a combination of an u p-and-in binary call and an up-and-in binary put. However, an UIBC H is the same as a standard BC H , as it has to knock in to have positive value We can expand the UIBP H into its components. UIB H BC H lim n UIP H, H - UIP H - n-l. We can apply PCS. The approximation error is final term can now be rewritten as a binary call and so. Bates, David, 1988, The crash premium Option pricing under asymmetric processes, with ap - plications to options on Deutschemark futures, Working paper, University of Pennsylvania Bates, David, 1991, The crash of 87 Was it expected The evidence from options markets. 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Static versus Dynamic Hedging of Exotic Options An Evaluation of Hedge Performance via Simulation. Article Options and Tools. Cited by Crossref, 6.Add to Marked List. Download Citation. Track Citations. ROBERT G TOMPKINS University dozent in the Financial and Actuarial Mathematics Group at Technische Universitt Wien in Vienna, Austria. Citation ROBERT G TOMPKINS 2002 Static versus Dynamic Hedging of Exotic Options An Evaluation of Hedge Performance via Simulation , The Journal of Risk Finance Vol 3 Iss 4, pp 6 - 34 DOI. Downloads The fulltext of this document has been downloaded 448 times since 2006.The depth and breadth of the market for contingent claims, including exotic options, has expanded dramatically Regulators have expressed concern regarding the risks of exotics to the financial system, due to the difficulty of hedging these instruments Recent liter ature focuses on the difficulties in hedging exotic options, e g liquidity risk and other violations of the standard Black Scholes model This article provides insight into hedging problems associated with exotic options 1 hedging in discrete versus continuous time, 2 transaction costs, 3 stochastic volatility, and 4 non constant correlation The author applies simulation analysis of these problems to a variety of exotics, including Asian options, barrier options, look back options, and quanto options. Type General review Publisher MCB UP Ltd Copyright MCB UP Limited 2002 Published by MCB UP Ltd. Your Access Options. Existing Customer. Static hedging of binary options in metatrader. 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